Una herramienta es el TweakUI que permite ocultar el icono, pero desconozco si permite mostrarlo nuevamente.

Otra opción es la de utilizar una directiva de grupo con la herramienta gpedit.msc. No la recomiendo, este oculta la Papelera de reciclaje en TODAS partes, no solo el escritorio, lo cuál no es exactamente lo que tratamos de hacer en este momento.

La opción completa (hasta donde se) es modificar el registro de la misma manera que lo hace el TweakUI:

1. Abrimos un editor de registro. El editor que viene con Windows es el regedit.
2. Buscamos la clave HKEY_CURRENT_USER\Software\Microsoft\Windows\CurrentVersion\Explorer\HideDesktopIcons\NewStartPanel.
3. Modificamos (o creamos si no existe) el  valor DWORD {645FF040-5081-101B-9F08-00AA002F954E} y le asignamos el valor 1 para ocultar y 0 para mostrar.
4. Es posible que se requiera reiniciar la sesión de usuario para que el cambio tenga efecto.

Nota.- Debido a que la clave en el registro dice NewStartPanel, creo que con el menú clásico de Windows no funcionaría, tocaría experimentar a colocarla dentro de la clave ClassicStartMenu. Como no lo he hecho, no sé si funcionaría o no, o si generaría errores o no.