Los pasos:

1) Creamos la nueva ubicación para los archivos y le damos los permisos al usuario mysql

$ sudo mkdir /nueva/ubicacion/bases/mysql
$ sudo chown mysql:mysql /nueva/ubicacion/bases/mysql

2) Nos deplazamos a la ubicación actual de los archivos de las bases de datos

$ cd /var/lib/mysql

3) Detenemos el motor de bases de datos

$ sudo /etc/init.d/mysql stop

4) Copiamos la carpeta de cada base de datos a la nueva ubicación preservando sus permisos

$ cp -rp mysql /nueva/ubicacion/bases/mysql/

5) Editamos el archivo my.cnf (/etc/mysql/my.cnf)

$ sudo -b gedit /etc/mysql/my.cnf

o

$ sudo nano /etc/mysql/my.cnf

y modificamos la línea

datadir = /var/lib/mysql

con la nueva ubicación

datadir = /nueva/ubicacion/bases/mysql

6) Renombramos o reubicamos las viejas bases de datos.

7) Reiniciamos el servidor MySQL

$ sudo /etc/init.d/mysql start

Si todo ha salido bien, nuestro servidor de MySQL está corriendo nuevamente con las mismas bases de datos que ya teníamos.

Fuente:

How to move mysql database to another drive or partition